Maple软件在高等数学定积分教学的应用

分类：软件开发论文发表 时间：2020-07-02 11:03 关注：(1)

　　高等数学是每一位大一新生都要面对的一门非常重要的公共基础课，因此如何让学生们能够直观，形象地理解高等数学中的众多定理和计算就成为了我们高等数学任课老师的教学关键所在。我们都知道，高等数学是研究变量与变量之间关系的一门学科，而定积分则是一元函数微积分中的重点。Maple一款非常强大的数值计算软件。因此本文从如何使用Maple对定积分教学进行辅助教学的角度出发，通过两个例子，形象而直观地演示了如何对定积分的定义，面积和体积等内容进行教学的关键。最后，在总结中，我们给出了在高等数学定积分教学中使用Maple软件的前景和未来的趋势。

　　关键词：高等数学;定积分;Maple;辅助教学

　　我们都知道，高等数学是研究变量与变量之间关系的一门学科。其主要内容包括：一元函数微积分，多元函数微积分，无穷级数，向量与空间解析几何以及常微分方程。简言之，就是微分，积分，级数，向量和方程[1]。因此，在国外的很多教材中都把高等数学称之为微积分(Calculus)。从这个意义上来说，积分学无疑在整个高等数学教学中占有非常重要的地位。而学生们初次接触积分就是不定积分和定积分，从一般意义上讲，定积分应该属于一元函数积分学。因此，如何让学生们更好的理解并学好定积分就是我们高校老师的重要任务所在。

　　一高等数学定积分教学的重点与难点

　　很多高数教材在讲解定积分的定义的时候，都会用曲边梯形的面积这个经典例子作为案例引入来开始定积分课程的教学。但是如何能用最直观的形式教会学生定积分并不是一件容易的事[2]。首先，定积分的概念的引入一般会有两个：①曲边梯形求面积;②变速直线运动求路程。这两个问题看似风马牛不相及，但是研究思路却有着异曲同工之处，那就是：分割，近似，求和和取极限。也就是其和式极限可以写成下面的样子：01lim()niiiAfxλξ→==∑∆。因此我们可以看到，这里的iii1xxx−∆=−是第i个小区间的长度，()iifξ∆x使用来近似第i…个小区间上的矩形的面积，12max{,,...}nλ=∆x∆x∆x是所有小区间上的间距的最大值。当λ→0时，就相当于是无限加密的情况，如果上面的和式极限存在，我们就把它称为是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分。这里的和式极限其实和我们以前学过的数列极限和级数求和都是不一样的。当λ→0时，上面的和式极限中的每一项都是无穷小量，因此该式子其实是无穷多个无穷小量的求和，并且当项数增加时，不仅是项数增加了，每一项的数值也在发生变化，因此它不是简单的级数求和。另一方面，当分割的模数λ确定时，分割[a,b]的方式仍然是多种多样的，这说明分割的和不能由λ唯一确定，因此上式不是简单的函数极限。最后，即使采用确定的分割方式，在每个小区间上的iξ的选取仍然是任意的，因而积分和也不能由n唯一确定，所以和式极限也不是通常的数列极限[3]。下面，我们就会以两个教学案例为主干，详细介绍Maple2016软件在高等数学定积分教学中的应用。

　　二Maple2016在定积分辅助教学中的案例

　　在高等数学课程中，定积分的计算与应用一般都是以曲边梯形的面积作为引例来教学。设函数y=f(x)为闭区间[a,b]上的一个非负连续函数，我们把x轴上的闭区间[a,b]等分成n等分，则每一个分点的横坐标可以写为：kbaxakn−=+，这样以函数y=f(x)，x=a,x=b所围成的曲边梯形就可以用n个小矩形的面积来近似：即…1()nkkbaSfxn=−=∑这里的kx有如下几种选取方式：①k(1)baxakn−=+−即左端点取法;②kbaün−=+即右端点取法;③1(21)2kbaxakn−=+−即中间端点取法，在我们的例子里，我们采用第二种取法，也就是右端点取法。例2…设2f(x)=9−4x，试用100小矩形的面积来近似曲边梯形y=f(x)，30,2x=x=，并给出该积分的精确值.首先，我们在Maple2016中，定义该函数2f:=x→9−4x;因为该函数的一阶导数f'(x)=−8x，所以该函数在区间3[0,]2上是单调减少的。下面，我们将用100个小矩形的面积之和来近似题目给出的函数。Maple语句为：这里，我们调用了Maple2016自带的微积分学习软件包-student，通过调用该软件包，使用函数rightsum来对曲面梯形进行了矩形近似。从上面的图形中，我们可以看到，当矩形的分割数为4的时候，右端点选取的矩形面积和精确解(红色曲线)相差很大，但是，随着矩形分割数的增加，绿色的矩形面积之和与红色的精确解的面积之和的差距不断缩小，当最后n=32的时候，矩形面积只差已经非常微小了。基于以上分析，我们可以得出结论：如果加密无限进行下去，该矩形面积之和的极限一定会无限逼近红色的精确解。

　　三结语

　　高等数学是一门对学生逻辑思维能力，计算能力以及证明和推导能力要求非常高的课程。而定积分是高等数学中的重中之重。如何能让学生们又快又好的学号这部分内容是非常关键的。而一旦把Maple软件引入课堂中来，凭借Maple软件的简单，易学，直观，生动，可以很快的把学生们的学习积极性调动起来，使得那些看似枯燥无味的定理和公式变得活泼起来，这无论对学生还是老师都是大有裨益的[4]。另一方面，笔者在最近几年的高等数学教学中深感作为大学老师，不光是需要学生掌握书本上的知识，同时掌握一门较成熟的数值计算软件(比如Maple或者Matlab)其实是非常必要的。因为大部分学生，尤其是工科的学生，到了大二，大三的时候都会参加数学建模竞赛，而建模竞赛的最后关键就是编程和计算。而以Maple和Matlab为核心的软件计算与编程就显得尤为重要[5]。同时，学校也应该有意识地组织大一新生学习这些计算软件，这样对于学生们的成长来说就是很及时的补充了。笔者所在的中国矿业大学在这方面已经做出了很多的尝试——比如高等数学的MATLAB学习班，线性代数与概率论的MATLAB学习班，以及正在酝酿中的Maple软件学习系统，都是我们的一些尝试[6]。希望笔者的这篇文章能起到抛砖引玉的作用，让更多的学生体会到学习的快乐与知行合一的喜悦。

　　参考文献

　　[1]王剑侠,龚力强.Maple在高等数学教学中的应用[J].广州大学学报(自然科学版)2002,1(6):…69-73.

　　[2]周甄川,吕同斌.Maple的图形绘制功能在高等数学教学中的应用[J].黄山学院学报,2010,12(6):117-119.

　　[3]纪宏伟.几何图形在高等数学中的作用及在Maple下的实现[J].高师理科学刊,2011,31(4):1-3.

　　[4]李文群,应代.Maple软件在高等数学教学中的应用研究[J].教育教学论坛,2012(14):205-206.

　　[5]黄炜.MATLAB在高等数学中的典型问题应用探索[J].江西科学,2010,28(6):114-117.

　　[6]罗美金,林远华,欧阳云.浅谈maple在高等数学课程中的应用[J].教育现代化,2018,5(51):188-189+191.

　　作者：杨晓波