数学教育论文数学对象实在性辨析

分类：中学教育论文发表 时间：2016-12-07 11:37 关注：(1)

　　数学实在论相信数学对象独立于人类的思维，数学教育论文它是一种独立的存在。这种观念在一定意义上可以看成柏拉图的哲学思想及中世纪的实在论观念的延续。确信数学概念、数学世界独立于思维而存在是数学实在论观念的核心。实在论由于其本身的不彻底性，无法充分解释数学对象的存在形式、存在性质，因此也就无法正确分析数学对象的客观意义。

　　《应用数学与计算数学学报》(季刊)创刊于1987年，是由上海市教育委员会主管、上海大学主办的数学期刊。《应用数学与计算数学学报》本刊宗旨：反映应用数学与计算数学的最新成果，促进学术交流。主要刊登：应用数学与计算数学方面的学术论文及其在自然科学、工程技术和社会经济等方面的重要应用成果，特别偏重于数学模型的建立和分析、数值试验和计算方法。

　　对数学本体论的讨论，通常是一个数学哲学理论的起点，也是其整个理论的焦点。关于数学的本质，每个数学家、哲学家由于其研究经历及视角的不同，都可能对数学给出不同的解释。随着时代的进步和数学的发展，我们不宜固守在某种关于数学的观点，而应实事求是地去分析和评价各种不同的理论观点，并随着数学自身的发展以及内涵的日益丰富去我们拓展的认识。

　　一、数学对象实在论问题的由来

　　数学对象的存在性问题可以具体地表述为：数学概念是否反映客观的真实存在?数学概念与客观实体的关系如何?数学概念是否独立于客观实体之外?数学对象具有怎样的性质?如何来正确理解数学对象的存在?

　　在数学萌芽时期的原始社会，数学的研究对象是名数。数学的研究对象往往是源于客观实体的，数总是与某种实在的东西(如手指、贝壳)相联系，而不是仅仅被抽象地想象。正如布留尔所言：“在古代原始人的视角中，数的应用总是或多或少与被计数的实体联系着。在群体的思维表象中，数学以及数的名称与其说它们是算术的单位，还不如说数是一种神秘的实体存在。”

　　人类经过漫长的认识发展，才使数脱离具体事物，成为纯粹抽象的概念。在相当长的时期内，人们总是把数学对象看作像真实的东西那样。例如，毕达哥拉斯学派强调，宇宙的本质是数学对象，一是数学的源泉，一生二，再由一、二生出各种数字，各种数字结合空间图形再衍生出点、线、面、体等。由此可以得出可感事物是由数构成的，数成为万物的基础，数学对象独立存在于可感知的事物之中。

　　古希腊哲学家柏拉图相信数学对象存在于“理念世界”，它是一种独立于人类思维的存在。亚里士多德批判了毕达哥拉斯学派和柏拉图关于数学对象独立存在的观点。他认为，一不是普遍的事物存在形式，它仅仅是一种计量单位，一与二，一与其它数字之间仅是一种关系、一种属性;数学对象只是一种抽象的可能性。数学对象并不表示真实的存在，数学对象抽象地存在于具体事物之中，它们恰恰仅仅是数学家抽象思维的产物，即是一种思维抽象的可能性，一个定义仅仅是让我们明白对象的外延和内涵，但这不能成为它存在的证据。例如，三等分的任意角、正十面体，这些概念都可以有明确的定义，但它们都是不存在的，所以定义了的东西是否存在有待于证明。亚里士多德的观点“使人们开始认识到抽象和具体的关系，使人类思想史前进了一步”。

　　其实，亚里士多德和柏拉图在数学本体论上的争论主要是围绕“数学对象如何存在的问题”，即数学对象存在于实体中，还是一种与客观事物分离、在客观事物以外的独立存在?这个问题涉及到“一般”或“共相”的实在性问题，这也引起了中世纪欧洲实在论与唯名论的长期斗争。实在论者断言，共相是一种真实的存在，而且只有在共相存在的基础上，才有个体的存在;唯名论者则认为只有个别的、具体的事物才是客观存在的。

　　尽管数学的本体论问题早就引起了哲学家们的兴趣，但是，在16世纪以前，数学家对此并没有给予真正的关注，“在当时的数学家们看来，他们无须为数学的本体论问题‘操心’，因为，数学命题所具有的明显的客观意义及其绝对真理性已经充分保证了他们的工作的意义。”随着数学自身的发展，情况逐渐发生了变化，许多数学概念和对象仿佛只是思维“自由想象”的产物，与客观现实并无直接的联系。对于这种发展M·克莱因曾这样予以描述：“数学家们无意中逐渐引进了一些没有或很少有直接物理意义的概念，其中负数和复数是最令人费解的，因为这两种数在自然界中没有‘实在性’……则迫使人们认识到数学的人为性。”这种对于新的数学对象的合理性和客观实在性的怀疑导致了关于数学对象的本体论问题的进一步研究。

　　二、现代数学实在论的困境

　　19世纪末，数学在超穷数理论的进展促使康托尔站在实无穷的立场上，远离数学和哲学上关于数学对象的传统观点，从而引起了数学家、哲学家的广泛关注，康托尔的数学工作对哲学视角的影响恐怕远超越其对数学领域的影响。围绕着如何认识超穷数及其方法的问题，数学实在论遇到了前所未有的挑战。

　　从无穷集合的认识角度看，实在论者往往对无穷集合的客观存在性持肯定的态度，在他们看来，假设我们确信数学对象具有客观实在性，那么我们借助数学概念、数学对象进行思维就是理所当然的事情，于是我们就有理由相信数学是早已客观存在着，数学的存在等待着数学家去还原、去发现。相反的，形式主义者对实无穷概念的实在性问题持完全否定的态度。他们认为，无论何处，无论何时，无限都是不可能实现的，我们无法想象自然界中存在无限，无限也无法成为人类进行合理思维的可靠基础。柯亨说：“我相信任何实在论者都会承认的一个弱点是，他没有能力说明象更高的无穷公理这样无穷无尽的序列的根源。当考虑一个充分不可达的基数时，甚至连最坚定的实在论者也一定会退却的。”事实上，数学对象、数学概念本身就具有两重性，一方面它是人类抽象思维的结果，具有相对的独立性，另一方面，它又包含一定的客观内容，体现人类思维对外部客观世界的间接能动反映。“数学概念是理想的、抽象的完美事物，在现实中不存在那样的客观事物，同样的，实无限包含有无限多元素，这在现实经验中也是无法理解的，它恰恰是一种构造的理想物，反映了某种客观实在关系而已。”