非线性动力学理论在防屈曲支撑研究中的应用

分类：工业设计论文发表 时间：2012-08-18 10:45 关注：(1)

　　摘要：非线性动力学的工程应用是非线性科学研究的前沿和热点,应用非线性动力学的理论揭示事物动态过程现象的本质和机理具有十分重大的理论和应用价值。防屈曲支撑作为一种应用广泛的金属阻尼器，其力学性能研究对于指导其设计和性能评估具有很大的作用。然而防屈曲支撑作为一种强非线性系统，其力学性能分析一直是难点所在。本文对非线性动力学理论在防屈曲支撑研究中的应用作出一些初步的探索，着重研究防屈曲支撑内芯的非线性动力学理论建模方法。

　　关键词：非线性动力学;防屈曲支撑;理论建模

　　Abstract: The engineering applications of nonlinear dynamics is the research frontier and hot point of nonlinear science. It is of great theoretical and practical value to employ the theory of nonlinear dynamics to reveal the nature and mechanism ​​of the objects dynamic phenomenon. The anti-buckling support is a widely used metal damper,whose mechanical properties study has a significant role in the guidance of its design and performance evaluation. However, anti-buckling support also is a strongly nonlinear system, whose mechanical performance analysis has been the difficulty. The paper conducts some preliminary exploration of application of the theory of nonlinear dynamics in the study of anti-buckling support, focusing on theoretical modeling method of nonlinear dynamics of anti-buckling support core.

　　Key words: nonlinear dynamics; anti-buckling support; theoretical modeling

　　中图分类号：TH122 文献标识码： A文章编号：2095-2104(2012)

　　引言

　　经典力学的基础是一些“实验事实”。随着科学技术的发展，实验设备变得更为先进，实验方法在不断改进，所得的实验结果也更为贴近实际力学过程。然而，更新更精确的实验结果也说明了：一、处理力学模型的线性化方法在许多模型应用中具有很大的局限性，线性化可能导致很大的误差，甚至导致结论与实际情况十分的不相符;二、原来被忽略的一些因素事实上对力学模型影响很大，而这些被忽略的因素表现往往很难用线性化方法处理，并且还表现为强非线性。

　　真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、变结构控制策略等。实践中，人们经常试图用线性模型来替代实际的非线性系统，以求方便地获得其动力学行为的某种逼近.然而，被忽略的非线性因素常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近徒劳无功.特别对于系统的长时间历程动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会在分析和计算中出现本质性的错误.

　　人们很早就开始关注非线性系统的动力学问题.早期研究可追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察，从19世纪末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等数学家和力学家相继对非线性动力系统的理论进行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理学家和工程师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现.他们的杰出贡献相辅相成，形成了分岔、混沌、分形的理论框架，使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，并促进了非线性科学的形成和发展.

　　近20年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展.这促使越来越多的学者基于非线性动力学观点来思考问题，采用非线性动力学理论和方法，对工程科学、生命科学、社会科学等领域中的非线性系统建立数学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略，一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现的分岔、混沌、分形、孤立子等复杂非线性动力学现象具有正确的认识和理解.

　　近年来，非线性动力学理论和方法正从低维向高维乃至无穷维发展.伴随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学所处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近一些实际系统.在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象正在发生变化.人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。

　　防屈曲支撑是土木工程抗震中目前应用较为广泛的一类耗能构件，它利用金属的屈服来消耗地震中产生的能量，从而保护主体结构的安全。常用的防屈曲支撑有全钢型的防屈曲支撑和钢管混凝土约束型的防屈曲支撑，都由内芯和外包约束构件构成。从原理上来看，内芯一般用中等屈服强度钢，承受轴力;外包约束构件约束内芯的局部屈曲与整体屈曲，不承受轴力;内核钢支撑与外包约束构件之间有适当的间隙，以保证内芯在屈服以后能有横向的变形空间，从而减小内芯在受压时的与约束构件之间的摩擦力，尽量避免外包约束构件承受轴力。工作时，仅内核钢支撑与钢框架连接即仅钢支撑受力，而外包钢管混凝土约束内核钢支撑的横向变形，防止内核钢支撑在压力作用下发生整体屈曲和局部屈曲。如图1中所示为典型的防屈曲支撑与其在轴向拉压力作用下得到的滞回曲线。

　　虽然防屈曲支撑已经有了广泛的应用，但是对于防屈曲支撑性能的研究并未取得较大进展，特别是防屈曲支撑的受力分析。防屈曲支撑内芯与约束构件间存在间隙，在支撑受力过程中内芯与约束构件之间存在摩擦力，而且在实际应用中支撑内芯经常达到较大的变形。这些都属于强非线性问题。因此合理地利用非线性动力学理论就可以解决防屈曲支撑的分析问题。

　　防屈曲支撑的理论建模

　　对所关心的非线性动力系统建立数学模型是后继分析的基础。通常，建模前要对系统的构成进行分析，尽可能把握系统的主要非线性因素。然后，需要根据已掌握的信息决定建模的方法。完全借助力学理论进行建模的过程一般称作理论建模，而以实验作为主要手段的建模过程可称作实验建模。实践中，通常交替采用这两种建模技术进行相互检验，或混合采用两种技术进行复杂系统的联合建模。

　　具有无限自由度的连续介质系统的建模非常复杂。系统的非线性来自两方面，一是系统的运动(如大变形)，二是构成系统的材料。对于计入上述非线性的杆、轴、梁、板和简单的壳体，高等材料力学和弹性力学提供了一些建模的手段。至于更复杂的结构，则需要采用非线性有限元、多柔体动力学等方法，在计算机上完成建模。

　　在支撑达到屈服力之前，内芯是处于弹性状态。依次列出系统的动力平衡方程、变形几何方程和本构方程，然后尽可能消去联立方程中的未知函数。

　　可以将内芯的一端简化为两端铰支、均匀材料等截面梁，其左端纵向固定，右端纵向可移动且作用有纵向载荷P(t)。下面运用弹性力学位移法建立系统的运动偏微分方程。

　　首先，取梁上距左端处(对应于弧长坐标xs)的微段 。根据图中的受力分析，得到该微段质心的纵向运动u(x,t)和横向运动w(x,t)所满足的动力平衡方程

　　继分析中保持这样的二阶Taylor截断。

　　在建立变形几何方程阶段，通常根据实验观察结果引入一些变形假设，以便使问题得以简化。此处引入的基本假设是：变形前垂直于梁轴线的横截面在变形后垂直于变形的轴线。根据这一基本假设，距中性层z处点的纵向位移ux由三部分组成：一是轴力引起的横截面纵向平动 ，即微段质心的纵向位移 ;二是由横截面转动引起的 ;三是横向弯曲引起的 。因此，该点的纵向位移是

　　现以梁的纵向位移u(x,t)和横向位移w(x,t)为未知量来建立其运动偏微分方程。将式(6)代入式(7)，在梁的横截面上积分得到轴力和弯矩:

　　其中 是梁的截面惯性矩。根据几何关系 ，可导出

　　将式(8)和(11)联同式(4)代回方程(3)，得到仅含未知位移的动力学方程

　　这就是计入几何非线性效应的梁纵横向运动耦合动力学方程，其最低阶截断误差为 。

　　研究梁的横向非线性振动时通常对纵向运动微分方程引入简化假设。如果略去梁横向运动对纵向运动的影响，方程(12)将简化为线性波动方程

　　相应的边界条件是

　　在给定的初始条件下解出纵向位移u(x,t)后代入方程(13)，可得到以横向位移w(x,t)为未知函数、纵向位移u(x,t)为时变系数的非线性偏微分方程。

　　对于定常纵向 载荷P(t)=P0，一般略去梁的纵向惯性效应，视轴力为

　　其中D(w)是关于x的非线性偏微分算子。

　　方程(19)是一非线性偏微分方程，其解空间具有无限维。通常，人们采用Galerkin方法将其简化为有限个常微分方程来进行研究。Galerkin方法的基本思路是取一组满足梁边界条件的形状函数 ，构造

　　将其代入方程(19)，方程残差反映了残余力。为了尽量减小残余力，可以选择未知函数 ，使残余力关于各形状函数 对应的位移平均作功为零，即,

　　这显然是n个关于未知函数 的二阶常微分方程。

　　对于梁振动问题，最常用的形状函数就是梁的微振动固有振型。以简支梁的低频振动为例，通常仅取梁的第一阶固有振型 。将其代入方程(19)后再代入方程(21)，经计算得到一个单自由度非线性振动系统

　　一般在最初阶段就取 ，但取弯矩表达式(11)中的 。这样的不一致截断使最终结果成为

　　以上过程就是防屈曲支撑内芯的非线性动力学理论建模方法。

　　应用非线性动力学理论对防屈曲支撑进行研究还没有先例，本文仅仅对于防屈曲支撑内芯的建模做了初步的探索。非线性动力学理论作为一种处理非线性问题的方法必将在防屈曲支撑的研究中发挥巨大的作用。

　　参考文献

　　1. 非线性动力学理论与应用的新进展. 张伟，胡海岩. 科学出版社，2009.11

　　2. 应用非线性动力学. 胡海岩. 航空工业出版社. 2000

　　3. 非线性动力学. 刘秉正, 彭建华. 高等教育出版社,2004

　　4. 陈予恕, 曹登庆,吴志强. 非线性动力学理论及其在机械系统中应用的若干进展. 宇航学报. Vol.28 No.4.2007